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ニュートン別冊 虚数がよくわかる 改訂第2版

ニュートン別冊

虚数がよくわかる 改訂第2版

2乗してマイナスになる不思議な数

虚数がよくわかる 改訂第2版
 
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ISBN978-4-315-52222-8
A4変型判並製/カラー4色刷/176ページ
発行年月日:2020年4月10日
定価:本体1,800円+税

 

 

 「虚数」は,かつてフランスの数学者デカルトでさえ,その存在を認めず,「想像上の数」とよんだ数です。プラスの数もマイナスの数も,2乗する(2回かける)と必ずプラスになります。ところが虚数は,「2乗するとマイナスになる」,なんとも奇妙な数なのです。
 そんな奇妙な虚数は,数学や科学において,きわめて重要な役割を果たしています。実は,虚数がなければ,数の世界は不完全なままになってしまうのです。また,物理学においても,虚数がなければ,電子1個のふるまいすら,正しく知ることができないのです。
 本書は2018年に刊行したニュートン別冊『虚数がよくわかる』の改訂版です。人類が虚数に至るまでの数拡張の歴史や虚数の性質,そしてその重要性を,やさしく紹介しています。ぜひご覧ください!


 

CONTENTS

  • 1 虚数誕生への道のり
    自然数
    ゼロ
    負の数
    負の数のかけ算
    有理数
    無理数
    実数
    Column 1 小数の表記法が生まれたのは16世紀
    Column 2 ピタゴラスは有理数が数のすべてであると信じた
    Column 3 古代メソポタミアの粘土板に刻まれた√2
    Column 4 古代人はこうやって平方根を作図した
    Column 5 √2が無理数であることの証明
    Column 6 √2を分数であらわす方法―連分数
    Column 7 方程式とは何か?
    Topics 実数の完成と無限の概念

    2 虚数とは何か
    虚数とは
    とけない問題
    虚数誕生
    市民権を得た虚数
    Column 8 「2次方程式」には,実数では答えが出せないものがある
    Column 9 4000年の歴史をもつ「2次方程式」
    Column 10 2次方程式の「解の公式」でカルダノの問題を解く方法
    Column 11 虚数誕生のきっかけは,16世紀の「数学勝負」
    Column 12 ギャンブル好きで確率論の発展にも寄与したカルダノ
    Q&A 1 複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる?
    Q&A 2 虚数に大小はある?

  • 3 虚数と複素数
    複素数のあらわし方
    複素数の足し算
    複素数のかけ算
    虚数で解く不思議なパズル
    ガウスと複素数
    数拡張の終着駅
    Column 13 「 カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう
    Column 14 「 マイナス×マイナス=マイナス」の世界とは?
    Column 15 複素数の「極形式」とは?
    Column 16 複素平面を幾何学に応用してみよう
    Column 17 複素平面の反転と無限遠点
    Q&A 3 -1の4乗根, 8乗根, 16乗根は?
    Column 18 「代数学の基本定理」の証明
    Column 19 フラクタルと複素数
    Column 20 複素数ニュートン法によるフラクタル
    Topics 黄金比と複素数で正五角形を作図してみよう

    4 人類の至宝 オイラーの公式
    三角関数
    テイラー展開
    虚数乗
    オイラーの二つの式
    πと
    オイラーの公式をながめる
    オイラーの公式はなぜ重要か
    Column 21 三角関数って何?
    Column 22 自然対数の底「」とは?
    Column 23 円周率「π」とは?
    Column 24 近代数学の基礎を築

    5 虚数と物理学
    光・天体と虚数
    4次元時空と虚数
    未知の粒子と虚数
    量子力学と虚数
    Q&A 4 実在しない虚数が,なぜ自然界に関わる?
    Topics 量子力学では,なぜ複素数が登場するのか?
    Topics 「小林・益川理論」でも虚数が活躍する
     

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