CONTENTS

• イントロダクション 人類は数の世界を拡張してきた 虚数をめぐる数学者・物理学者の歴史年表   １　虚数誕生前夜 古代の数 自然数の比――分数の発明 コラム：有理数の条件と，有理数がもつ興味深い性質 コラム：ピタゴラスは有理数が数のすべてであると信じた コラム：小数の表記法が生まれたのは16世紀 無理数の発見 コラム：古代メソポタミアの粘土板にきざまれた√2 コラム：古代人はこうやって平方根を作図した コラム：√2が無理数であることの証明 コラム：√2を分数であらわす方法――連分数 ゼロの発明 負の数の歴史 コラム：方程式とは何か? 実数の完成と無限の概念   ２　虚数の誕生 カルダノの問題 実数のほころび コラム：4000年の歴史をもつ「2次方程式の解の公式」 虚数の誕生 コラム：ギャンブル好きで確率論の発展にも寄与したカルダノ 虚数との格闘 虚数単位iの誕生 コラム：自然対数の底「e」とは? コラム：円周率「π」とは?   ３　虚数の性質 虚数の可視化と「複素数」 複素平面の不思議な性質 コラム：複素数の「偏角」，「絶対値」とは? コラム：「カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう

• 虚数で解く不思議なパズル Q&A：Q1.複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる? Q&A：Q2.虚数に大小はある? Q&A：Q3.「マイナス×マイナス＝マイナス」の世界とは? Q&A：Q4.「ガモフの問題」は，虚数なしでもとける? 複素平面と幾何学 コラム：複素平面と非ユークリッド幾何学   ４　虚数の物理学 量子力学と虚数 「4次元時空」と虚数 ホーキング博士の「虚数時間」 量子力学と複素数 小林・益川理論と虚数 Q&A：Q5. 実在しない虚数が，なぜ自然界に関わる?   ５　もっと知りたい！ 虚数 3次方程式と虚数 コラム：タルタリアはどんな問題を解いた? コラム：虚数を“使ってみせた”男 ボンベリ ガウスと複素平面 フラクタルと複素数 コラム：複素数ニュートン法によるフラクタル 人類の至宝――オイラーの公式 コラム：三角関数って何? コラム：指数関数って何? Q&A：Q6. タルタリアは，自力で公式を発見した? Q&A：Q7. 第2の虚数はある? Q&A：Q8. -1の4乗根，8乗根，16乗根は? コラム：オイラーの公式についてもっと知りたい! 複素数と代数方程式 コラム：複素平面の反転と無限遠点 黄金比と正五角形と複素数 発展編――代数学の基本定理