CONTENTS

• イントロダクション 人類は数の世界を拡張してきた 虚数をめぐる数学者・物理学者の歴史年表 １　古代の数 自然数の比――分数の発明 コラム 有理数の条件と，有理数がもつ興味深い性質 コラム ピタゴラスは有理数が数のすべてであると信じた コラム 小数の表記法が生まれたのは16世紀 無理数の発見 コラム 古代メソポタミアの粘土板にきざまれた √２ コラム 古代人はこうやって平方根を作図した コラム √２ が無理数であることの証明 コラム √２ を分数であらわす方法――連分数 ゼロの発明 負の数の歴史 コラム 方程式とは何か？ 実数の完成と無限の概念 ２　虚数の誕生 カルダノの問題 実数のほころび コラム 4000年の歴史をもつ「2次方程式の解の公式」 虚数の誕生 コラム ギャンブル好きで確率論の発展にも寄与したカルダノ 虚数との格闘 虚数単位 ｉ の誕生 コラム 自然対数の底「ｅ」とは？ コラム 円周率「π」とは？ コラム 「3次方程式の解」と『アルス・マグナ』をめぐるエピソード コラム タルタリアはどんな問題を解いた? コラム 虚数を“使ってみせた”男 ボンベリ ３　虚数の性質 虚数の可視化と「複素数」 複素平面の不思議な性質 コラム 複素数の「偏角」，「絶対値」とは？ コラム「 カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう 虚数で解く不思議なパズル

• Q&A Q1. 複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる？ Q&A Q2. 虚数に大小はある？ Q&A Q3. 「マイナス×マイナス＝マイナス」の世界とは？ Q&A Q4. 「ガモフの問題」は，虚数なしでもとける？ 複素平面と幾何学 コラム 複素平面と非ユークリッド幾何学 ４　虚数の物理学 量子力学と虚数 「４次元時空」と虚数 ホーキング博士の「虚数時間」 量子力学と複素数 小林・益川理論と虚数 Q&A Q5. 実在しない虚数が，なぜ自然界に関わる？ ５　人類の至宝 オイラーの等式 πと ｉ とｅ 三角関数 テーラー展開 虚数乗 オイラーの二つの式 まとめ オイラーの公式は“不可欠な道具” コラム 三角関数って何 コラム 指数関数って何 コラム 近代数学の基礎を築いた天才数学者オイラー もっと知りたい！ 虚数 ガウスと複素平面 フラクタルと複素数 コラム 複素数ニュートン法によるフラクタル Q&A Q6. タルタリアは，自力で公式を発見した？ Q&A Q7. －1の4乗根，8乗根，16乗根は？ Q&A Q8. 第２の虚数はある？ 複素数と代数方程式 コラム 複素平面の反転と無限遠点 黄金比と正五角形と複素数 発展編――代数学の基本定理の証明