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ニュートン別冊 “魔法の数” 虚数

ニュートン別冊

“魔法の数” 虚数

【お詫びと訂正】正誤表(PDF)
魔法の数 虚数
 
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ISBN978-4-315-52026-2
A4変型判並製/カラー4色刷/176ページ
発行年月日:2015年10月15日
定価:本体2,593円+税

 

 

 

 虚数とは,「2乗するとマイナスになる数」です。ふつうの数ではプラス×プラスはプラスになり,マイナス×マイナスもプラスになります。つまり,0でない数を2乗すると,かならずプラスの数になります。したがって,ふつうの数では「2乗してマイナスになる数」などというものは存在しないはずです。
 ところが,現実の世界でおきる物理現象を数式であらわそうとすると,虚数が必要となる場合があります。たとえば,「1個の電子」のふるまいを考えるとき,その計算には虚数が登場します。虚数は,現代の科学技術を根底から支えている「すごい発明品」なのです。
 本書では,人類が虚数に至るまでの数の歴史と虚数の性質,そしてその重要性をくわしく紹介しています。ぜひご一読ください。


 

CONTENTS

  • イントロダクション
    人類は数の世界を拡張してきた
    虚数をめぐる数学者・物理学者の歴史年表
     

    1 虚数誕生前夜
    古代の数
    自然数の比――分数の発明
    コラム:有理数の条件と,有理数がもつ興味深い性質
    コラム:ピタゴラスは有理数が数のすべてであると信じた
    コラム:小数の表記法が生まれたのは16世紀
    無理数の発見
    コラム:古代メソポタミアの粘土板にきざまれた√2
    コラム:古代人はこうやって平方根を作図した
    コラム:√2が無理数であることの証明
    コラム:√2を分数であらわす方法――連分数
    ゼロの発明
    負の数の歴史
    コラム:方程式とは何か?
    実数の完成と無限の概念
     

    2 虚数の誕生
    カルダノの問題
    実数のほころび
    コラム:4000年の歴史をもつ「2次方程式の解の公式」
    虚数の誕生
    コラム:ギャンブル好きで確率論の発展にも寄与したカルダノ
    虚数との格闘
    虚数単位iの誕生
    コラム:自然対数の底「e」とは?
    コラム:円周率「π」とは?
     

    3 虚数の性質
    虚数の可視化と「複素数」
    複素平面の不思議な性質
    コラム:複素数の「偏角」,「絶対値」とは?
    コラム:「カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう

  • 虚数で解く不思議なパズル
    Q&A:Q1.複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる?
    Q&A:Q2.虚数に大小はある?
    Q&A:Q3.「マイナス×マイナス=マイナス」の世界とは?
    Q&A:Q4.「ガモフの問題」は,虚数なしでもとける?
    複素平面と幾何学
    コラム:複素平面と非ユークリッド幾何学
     

    4 虚数の物理学
    量子力学と虚数
    「4次元時空」と虚数
    ホーキング博士の「虚数時間」
    量子力学と複素数
    小林・益川理論と虚数
    Q&A:Q5. 実在しない虚数が,なぜ自然界に関わる?
     

    5 もっと知りたい! 虚数
    3次方程式と虚数
    コラム:タルタリアはどんな問題を解いた?
    コラム:虚数を“使ってみせた”男 ボンベリ
    ガウスと複素平面
    フラクタルと複素数
    コラム:複素数ニュートン法によるフラクタル
    人類の至宝――オイラーの公式
    コラム:三角関数って何?
    コラム:指数関数って何?
    Q&A:Q6. タルタリアは,自力で公式を発見した?
    Q&A:Q7. 第2の虚数はある?
    Q&A:Q8. -1の4乗根,8乗根,16乗根は?
    コラム:オイラーの公式についてもっと知りたい!
    複素数と代数方程式
    コラム:複素平面の反転と無限遠点
    黄金比と正五角形と複素数
    発展編――代数学の基本定理